22 feb. 2013


Del tetrabrik al futbol

Geometría no tradicional

Vivimos rodeados de cajas rectangulares, tubos cilíndricos y pelotas esféricas. Sin embargo, asomándose en algunos rincones, aparecen otras figuras geométricas, menos familiares y más curiosas. En particular, tetraedros, cintas de Moebius y buckybolas.

El tetraedro

¿Por qué el tetrabrik se llama así? “Brick” quiere decir ladrillo y, efectivamente, algunos de estos envases tienen la forma y el tamaño de un ladrillo. Pero “tetra” quiere decir cuatro. ¿Cuatro qué?
a. Las paredes del envase están formadas por cuatro capas de papel, cera, aluminio y polietileno.
b. Originalmente, el envase se usó para una mezcla de cuatro jugos de frutas, llamado Tetra-juice.
c. Originalmente, el envase tenía cuatro caras.
En realidad, el material de los tetrabriks consiste en cinco o más capas de distintos tipos de papel, aluminio y polietileno. Y su primer uso fue para envasar leche. La respuesta correcta, por lo tanto, es la “c”: originalmente, este envase tenía forma de tetraedro. Es decir, de pirámide de cuatro caras triangulares. Fueron creados en 1951 por la empresa sueca Tetrapak. En la Argentina los conocimos como “cartones” y se usaban especialmente para leche. Fueron muy populares en la década de 1960.

Un envase con forma de tetraedro es muy poco práctico por dos razones. Por un lado, no se puede apilar, como sí ocurre con las cajas rectangulares o las latas cilíndricas. Por el otro, tiene poca capacidad en relación con su tamaño. Por ejemplo, una caja cúbica de diez centímetros de lado tiene una capacidad de mil centímetros cúbicos (un litro) y una lata cilíndrica de diez centímetros de diámetro y otro tanto de altura tiene una capacidad de tres cuartos de litro. En cambio, un tetraedro de diez centímetros de lado tiene una capacidad de apenas 120 centímetros cúbicos.
Sin embargo, los tetrabriks originales tenían una ventaja: se podían fabricar con relativa facilidad aplastando convenientemente los extremos de un tubo cilíndrico. A pesar de eso, no se popularizaron definitivamente hasta que se los pudo producir con forma rectangular. Hoy los envases tetraédricos persisten como una curiosidad geométrica en unos cuantos productos.

La cinta de Moebius

Una tira de papel tiene dos caras. Si unimos los extremos para formar una faja circular, esta faja también tendrá dos caras: una cara interna y otra externa. Pero, si antes de unir los extremos, retorcemos la cinta media vuelta, ambas caras formarán una única superficie. El resultado será una cinta de Moebius, una figura con una sola cara. Debe su nombre a August Ferdinand Moebius, un matemático y astrónomo alemán que la creó, e investigó sus propiedades, hacia 1858, junto con su compatriota Johann Benedict Listing (pero nadie habla de la cinta de Listing).
Una superficie con una sola cara recuerda al disco de Odín que, según el cuento de Jorge Luis Borges, convertía en rey a su poseedor y que, por haber caído con su única cara hacia abajo nunca más se pudo encontrar. Pero la cinta de Moebius no tiene nada de mágico ni de poderoso. Es sólo una figura cuya única cara, si queremos pintarla de verde del lado de afuera y de rojo del lado de adentro, no podemos porque no hay una cara interior y otra exterior. Hay una única cara que, a lo largo de la cinta, pasa del lado de afuera al de adentro y viceversa.
Aunque no es mágica, la cinta de Moebius es lo suficientemente curiosa como para inspirar a muchos artistas. El caso más conocido es el del holandés M. C. Escher, muchos de cuyos grabados muestran cintas de Moebius de diversos estilos. La cinta también fue usada en la literatura, el cine y hasta las historietas. El escritor y astrónomo norteamericano Armin Deustch es el autor de “Un subterráneo llamado Moebius”, un cuento en el que sugiere que una red ferroviaria de gran complejidad puede adquirir propiedades extrañas análogas a la de una cinta de Moebius. La película Moebius, del director argentino Gustavo Mosquera, está basada en ese cuento. En El profesor no-lateral, el especialista en acertijos y matemática recreativa Martin Gardner va un paso más allá de la cinta de Moebius e imagina una superficie sin caras. Y en Los alucinados (Correrías de Patoruzito, número 176) Isidorito recurre a la cinta de Moebius para asombrar a los peones de la estancia.
La cinta de Moebius tiene también algunas aplicaciones prácticas. De hecho, todos nosotros la hemos usado, directa o indirectamente: las cintas de las impresoras de matriz de puntos están retorcidas como cintas de Moebius para aprovechar toda la superficie entintada de la cinta original. Hace bastante tiempo que estas impresoras desaparecieron de hogares y oficinas, reemplazadas por impresoras láser o de chorro de tinta. Pero, junto con sus entintadas cintas de Moebius, siguen usándose en muchos lugares, como las cajas de los supermercados.

La buckybola

La geometría enseña que solamente hay cinco sólidos regulares, cinco cuerpos geométricos donde todas sus caras son polígonos también regulares e iguales entre sí. Además del tetraedro y el cubo están el octaedro (formado por dos pirámides unidas por sus bases cuadradas), el dodecaedro (una especie de pelota con doce caras pentagonales) y el icosaedro, formado por veinte caras triangulares.
Pero hay otros cuerpos que, aunque no tienen todas sus caras iguales, tienen una forma aproximadamente regular. Por ejemplo, si le cortamos las puntas a un icosaedro, las caras triangulares se convierten en hexágonos y cada vértice se convierte en un pentágono. La figura que resulta es mucho más esférica que el icosaedro original. Tiene veinte caras hexagonales, doce pentagonales y sesenta vértices. Esta figura se conoce como buckybola, porque su forma recuerda las cúpulas geodésicas diseñadas por el ingeniero norteamericano Richard Buckmister “Bucky” Fuller.
En 1985, cuatro químicos de la Universidad de Rice, en Texas, sintetizaron una molécula esférica formada por sesenta átomos de carbono acomodados en los vértices de una buckybola. Lo llamaron buckmisterfullero, o simplemente fulereno, de nuevo en honor a Buckmister Fuller y por la terminación estándar de los compuestos de carbono.
Los fulerenos tienen diversas aplicaciones médicas e industriales. Por ejemplo, pueden usarse para enjaular marcadores radiactivos y luego llevarlos al interior del organismo. Además, protegen en su interior otras moléculas que se degradarían en condiciones normales. Los nanotubos, fibras de carbono muy delgadas y resistentes, se rematan en sus extremos con tapas semiesféricas, equivalentes a medio fulereno.
Aunque los fulerenos son mucho más raros que los tetrabriks y las cintas de Moebius, las buckybolas están entre nosotros desde hace mucho tiempo: aproximadamente desde 1970, las pelotas de fútbol tienen exactamente la estructura de las buckybolas, con sus doce parches pentagonales y veinte hexagonales.
Por Claudio H. Sanchez
Texto y una imagen tomados de:
del sábado 5 de enero de 2013
Traducción al alemán: Ruth Schwittay
Otras imágenes:


Von Tetra-Brick-Verpackungen zum Fußball

Nicht traditionelle Geometrie

Wir leben umringt von rechteckigen Schachteln, zylindrischen Röhren und kugelförmigen Bällen. Aber, wenn wir etwas weiter schauen, kommen auch andere geometrische Figuren in Erscheinung, weniger bekannt und kurioser. Insbesondere die Tetraeder, Möbiusbänder und Buckybälle.

Tetraeder

Warum heißt die Tetra-Brick-Verpackung so? „Brick“ heißt Backstein, und wirklich haben einiger dieser Verpackungen die Form und Größe eines Backsteins. Und „Tetra“ heißt vier. Vier was?
a. Die Verpackungswände bestehen aus vier Schichten von Papier, Wachs, Aluminium und Polyethylen.
b. Ursprünglich wurde die Verpackung für eine Mischung von vier Fruchtsäften benutzt, Tetra-Juice genannt.
c. Ursprünglich wies die Verpackung vier Seiten auf.
In Wirklichkeit besteht das Material von Tetra-Bricks aus fünf oder mehr Schichten aus verschiedenen Papiersorten, Aluminium und Polyethylen. Und sie fanden die erste Anwendung für Milch.  Also ist „c“ die richtige Antwort: Ursprünglich hatte diese Verpackung die Form eines Tetraeders. Wir reden von der Pyramide mit vier dreieckigen Seiten. Sie wurden 1951 von der schwedischen Firma Tetrapack erfunden. In Argentinien kannten wir sie als „Karton“ und sie wurden besonders für Milch benutzt. Während der 1960er-Dekade wurde sie sehr populär.
Eine Verpackung in Form eines Tetraeders ist nicht sehr praktisch, und zwar aus zwei Gründen. Einerseits können sie nicht gestapelt werden, wie es mit den rechteckigen Kartons oder mit den zylindrischen Büchsen geschieht. Andererseits haben sie wenig Fassungsvermögen verglichen mit der Größe. Eine kubische Verpackung mit Seiten von zehn Zentimeter Länge hat ein Fassungsvermögen von tausend Kubikzentimeter (ein Liter); und eine zylindrische Büchse von einem Durchmesser von zehn Zentimeter und derselben Höhe hat ein Fassungsvermögen von einem dreiviertel Liter. Hingegen hat ein Tetraeder mit Seiten von zehn Zentimeter Länge ein Fassungsvermögen von nur 120 Kubikzentimetern.
Trotzdem hatten die ursprünglichen Tetra-Bricks einen Vorteil: Sie konnten relativ leicht durch das richtige Plattdrücken der Enden einer zylindrischen Röhre hergestellt werden. Trotzdem wurden sie definitiv nicht populär, bis sie in rechteckigen Formen hergestellt werden konnten. Heute bestehen die tetraedrischen Verpackungen nur für einige wenige Produkte als geometrische Kuriosität weiter.

Möbiusband

Ein Papierband hat zwei Seiten. Wenn wir die Enden verbinden, um eine runde Binde zu bilden, wird diese Binde auch zwei Seiten haben: eine Innere und eine Äußere.  Aber wenn wir dem Band eine halbe Umdrehung verpassen, bevor wir die Enden verbinden, werden beide Seiten eine einzige Oberfläche bilden. Das Resultat wird ein Möbiusband sein, eine Figur mit einer einzigen Seite. Es verdankt seinen Namen August Ferdinand Möbius, ein deutscher Mathematiker und Astronom, der es um 1858 zusammen mit seinen Landsmann Johann Benedict Liesting schuf (aber niemand redet je von dem Listingband) und seine Eigenschaften untersuchte.
Eine Oberfläche mit einer einzigen Seite erinnert an Odins Platte aus der Geschichte von Jorge Luis Borges, die den Besitzer in König verwandelte und die, da sie mit ihrer einzigen Seite nach unten gefallen war, nie wieder gefunden werden konnte. Aber das Möbiusband hat weder etwas Magisches noch etwas Mächtiges. Es ist nur eine einseitige Figur; wenn wir sie außen grün und innen rot anmalen wollen, werden wir es nicht machen können, denn es gibt keine innere und äußere Seite. Es gibt nur eine einzige Seite auf dem ganzen Band lang; sie läuft von der äußeren Seite zu der inneren und umgekehrt.
Obwohl nicht magisch, ist das Möbiusband seltsam genug, um viele Künstler zu inspirieren. Der bekannteste Fall ist der des Holländers M. C. Escher, viele von dessen Grafiken Möbiusbänder in verschiedenen Stilarten darstellen. Das Band kommt auch in Literatur vor, in Filmen und auch in Comics. Der nordamerikanische Schriftsteller und Astronom Armin Deustch ist der Autor von „Un subterráneo llamado Moebius“ [Eine U-Bahn genannt Möbius], eine Geschichte, in der nahe gelegt wird, dass ein Eisenbahnnetz von großer Komplexität seltsame, einem Möbiusband ähnliche Eigenschaften bekommen kann. Der Film „Möbius“, vom argentinische Regisseur Gustavo Mosquera, basiert auf dieser Geschichte. In „El profesor no-lateral“ [Der nicht-seitliche Lehrer] geht der Spezialist in Rätseln und kreativer Mathematik Martin Gardner noch einen Schritt weiter als das Möbiusband und stellt sich eine Oberfläche ohne Seiten vor. Und in „Los alucinados“ [Die Halluzinierten] aus „Correrías de Patoruzito“ [Die Abenteuer des Patoruzito], Nummer 176, greift Isidorito auf das Möbiusband zurück, um den Hilfsarbeitern auf der Estancia zu imponieren.
Das Möbiusband hat auch einige praktische Anwendungen. In der Tat, alle haben wir sie direkt oder indirekt benutzt: Die Bänder der Nadeldrucker sind verdreht wie Möbiusbänder, damit die ganze tintenimprägnierten Oberfläche des Originalbandes genutzt werden kann. Schon seit langem sind diese Drucker aus unseren Wohnungen und Büros verschwunden; sie wurden durch Laser- oder Tintenstrahldrucker ersetzt. Sie werden aber mit ihren tintenimprägnierten Möbiusbändern weiter zu vielen Zwecken benutzt, wie z. B. in Supermarktkassen.

Der Buckyball

Die Geometrie besagt, dass es nur fünf regelmäßige Körper gibt, fünf geometrische Körper, deren Seiten alle regelmäßige und gleiche Polygone sind. Außer dem Tetraeder und dem Würfel gibt es den Oktaeder (der aus zwei über ihren viereckige Basis vereinte Pyramiden besteht), den Dodekaeder (eine Art Ball mit zwölf fünfeckigen Seiten) und der Ikosaeder, der aus zwanzig dreieckigen Seiten gebildet ist.
Aber es gibt auch andere Körper, die, obwohl nicht alle ihre Seiten gleich sind, doch eine einigermaßen reguläre Form aufweisen. Wenn wir z. B. die Spitzen eines Ikosaeders abschneiden, verwandeln sich die dreieckigen Seiten in Sechsecke und jeder Eckpunkt in ein Fünfeck. Die resultierende Figur ist sehr viel kugelförmiger als der originelle Ikosaeder. Sie hat zwanzig sechseckige, zwölf fünfeckige Seiten und sechzig Eckpunkte. Diese Figur ist bekannt als Buckyball, denn ihre Form erinnert an die durch den nordamerikanischen Ingenieur Richard Buckmister „Bucky“ Fuller entworfenen geodätischen Kuppeln.
Vier Chemiker der Universität in Rice haben 1985 ein kugelförmiges Molekül aus sechzig an den Ecken eines Buckyballs untergebrachten Kohlenstoffatomen synthetisiert. Sie nannten es Buckmisterfulleren, oder einfach Fulleren, wieder zu Ehren Buckmister Fuller und wegen der Standartbindungen der Kohlenstoff-Verbindungen.
Die Fullerenen haben verschiedene medizinische und industrielle Anwendungen. Sie können z. B. zu radioaktive Markierungen in Käfighalterungen benutzt werden, um dann in das Innere des Organismus gebracht zu werden. Außerdem schützen sie andere Moleküle im Innern, die zu normalen Bedingungen abgebaut werden würden. Die Nanoröhren, sehr feine und widerstandsfähige Kohlenstofffasern, werden an ihren Enden mit halbkugelförmigen, der Hälfte eines Fulleren entsprechenden Deckel abgeschlossen.
Obwohl die Fullerenen sehr viel seltener als Tetra-Bricks und Möbiusbänder sind, gibt es Buckybälle schon lange: Ungefähr seit 1970 haben die Fußbälle genau die Struktur der Buckybälle, mit ihren zwölf fünfeckigen und zwanzig sechseckigen Waben.

Text: Claudio H. Sanchez
vom 5. Januar 2013

Übersetzung ins Deutsche: Ruth Schwittay
Bilder:

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